几何（曲线与曲面）

1 贝塞尔曲线

$p_0,p_1,p_2,p_3$ 为控制点，蓝色曲线就是贝塞尔曲线，曲线会与初始与终止端点相切，并且经过起点与终点

1.1 de Casteljau Algorithm

de Casteljau 算法描述了如何用多个点画出一条贝塞尔曲线，其核心是线性插值和递归。第一步选定一个参数 $t\in[0,1]$ ，在 $b_0b_1$ 线段上利用 t 值进行线性插值，即 $b_0^1=b_0+t*(b_1-b_0)$，得到 $b_0^1$ 之后在 $b_1b_2$ 线段上重复做相同的线性插值得到 $b_1^1$ ，再在 $b_0^1b_1^1$ 线段上递归进行相同操作得到 $b_0^2$，对所有的 $t\in[0,1]$ 都重复上述过程后就能得到贝塞尔曲线，这是求二阶贝塞尔曲线的过程。

对于三阶贝塞尔曲线过程也类似，只是比二阶多一次递归

1.2 代数式表达

二阶贝塞尔曲线展开：

推广到 n 阶贝塞尔曲线的代数表达式：

伯恩斯坦多项式中的 $\dbinom{n}{i}=C_n^i$

1.3 贝塞尔曲线的性质

• 必定经过起始与终止控制点
• 必定经与起始与终止线段相切
• 具有仿射变换性质，可以通过移动控制点移动整条曲线，但是投影之后会改变
• 凸包性质，曲线一定不会超出所有控制点构成的多边形范围
  • 凸包：墙上许多钉子，用一条橡皮筋包住最外边的钉子，再松手，橡皮筋收缩后的外框就是凸包

1.4 分段贝塞尔曲线

将一条高阶曲线分成多条低阶曲线的拼接，通常用3阶曲线来拼接

分段贝塞尔曲线的连续性：$C_n$ 连续表示 n 阶导连续

$C_0$ 连续：

$C_1$ 连续：

2 贝塞尔曲面

以 4*4 控制点的贝塞尔曲面为例：

1. 在这 4 个控制点之下利用第一个参数 u，运用计算贝塞尔曲线的方法得到蓝色点，因为有 4 列，所以一共可以得到如图所示的 4 个蓝色点。(灰色曲线分别为每列 4 个点所对应的贝塞尔曲线)
2. 在得到 4 个蓝色顶点之后，在这四个蓝色顶点的基础之下利用第二个参数 v 便可以成功得出贝塞尔曲面上的正确一点
3. 遍历所有的 u , v 值就可以成功得到一个贝塞尔曲面